F(x)为x的整系数多项式|f(x)|=17有5个不等整数根证f(x)=0无整数根

证明：

依题意, 令 G(x) = |F(x)| - 17,
从而有 G(x)=0 有五个不等整数根，设为a,b,c,d,e

由因式定理, 可记 G(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)H(x), 其中 H(x) 为系数多项式,

假定存在整数 k 满足 F(k) = 0

那么 G(k) = |F(k)| - 17= -17

即 (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)(k-e)H(k)=-17

这表明五个互不相同的整数k-a,k-b,k-c,k-d,k-e中至多有一个能等于 ±17, 而其余四个必定 ±1

因此, 其中至少有两个相等, 这与a,b,c,d,e互不相等矛盾,
从而 F(x)=0无整数根.